[Baekjoon] 17626: Four Squares - (C3, S3) DP

문제
라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.
자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력
입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력
출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

17626번: Four Squares

 

조금 어려웠던 문제. 시간 제한이 0.5초이니 DP겠거니 하면서.... 몇가지 항을 써본다.

• dp[n] = n을 표현하기 위해 필요한 최소 제곱수의 개수
  • dp[0] = 0
  • dp[1] = 1, ($1^2$) 
  • dp[2] = 2, ($1^2 + 1^2$)
  • dp[3] = 3, ($1^2+1^2+1^2$)
  • dp[4] = 1, ($2^2$)
  • dp[5] = 2, ($2^2 + 1^2$)
  • dp[6] = 3, ($2^2 + 1^2 + 1^2$)

dp[n]은 n을 표현하기 위해 필요한 제곱수의 개수의 최솟값이므로, 다음과 같이 적용할 수 있다. 

$$dp[i] = \min_{j^2 \leq i} \{ dp[i - j^2] + 1 \}$$

$i$보다 작은 제곱수 모든 $j^2$에 대해 최솟값을 구한다. 여기서 +1은 dp[i] 단계에서 필요한 개수 1이다. 

 

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    vector<int> dp(n + 1, n); // 최댓값으로 초기화
    dp[0] = 0; // 초기값 0
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j * j <= i; j++) // i보다 작거나 같은 제곱수에 대해 최소값 계산
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);

    cout << dp[n];
    return 0;
}

외부 루프는 n번 반복, 내부 루프는 외부의 루프 진행 i에 대해 $\sqrt{i}$번 반복하므로 총 시간 복잡도는 다음과 같다.

$$\sum_{i=1}^n O(\sqrt{i})$$

이는 대략 $O(n^{3/2})$로 근사한다.